Título:

O Teorema de Abresch-Rosenberg no Espaço de Heisenberg Tridimensional

Autor:

THIAGO ARAUJO DE ALBUQUERQUE MENDONCA

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

MENDONÇA, T. A. A.

Data da Defesa:

28/02/2013

Resumo:

Neste trabalho, dividido em duas partes, estudamos aspectos da geometria tridimensional Nil. A primeira parte é dedicada a alguns aspectos gerais dessa geometria: introduzimos as coordenadas da aplicação exponencial do grupo de Lie subjacente, e nelas calculamos a métrica invariante à esquerda, uma base ortonormal de campos invariantes à esquerda, e a conexão Riemanniana nessa base; encontramos as geodé- sicas de Nil e suas curvaturas seccionais; descrevemos os campos de Killing em Nil e usamos o resultado para determinar suas isometrias. Na segunda parte, introduzimos a diferencial de Abresch-Rosenberg para superfícies orientadas imersas em Nil, e mostramos que se a curvatura média da superfície é constante, então essa diferencial é holomorfa. Em seguida, classicamos as superfícies completas e orientadas, imersas em Nil com curvatura média constante e diferencial de Abresch-Rosenberg nula, e apresentamos uma demonstração do teorema de Abresch-Rosenberg no ambiente Nil: uma esfera imersa em Nil com curvatura média constante é uma superfície de revolução e, a menos de translação à esquerda, coincide com um exemplo canônico, que exibimos explicitamente.

Palavras-chave:

Superfícies com curvatura média constante, Espaços homogê- neos tridimensionais, Nil, Grupo de Heisenberg, Teorema de Hopf, Teorema de Abresch- Rosenberg, Diferencial de Abresch-Rosenberg.

Abstract:

In this work, which has two parts, we study some aspects of the three-dimensional geometry Nil. The rst part covers general features of that geometry: we introduce coordinates from the underlying Lie group exponential map, and use them to calculate its left invariant metric, an orthonormal basis of left invariant vector elds, and the Riemannian connection on that basis; we nd the geodesics of Nil and its sectional curvatures; we describe the Killing elds of Nil, and use the results to determine its isometries. In the second part, we introduce the Abresch-Rosenberg dierential for oriented surfaces immersed in Nil, and show that if the mean curvature of the surface is constant, then its Abresch-Rosenberg dierential is holomorphic. Then, we classify all complete oriented surfaces immersed in Nil with constant mean curvature and null Abresch-Rosenberg dierential, and present a proof of the Abresch-Rosenberg theorem for Nil: a sphere immersed in Nil with constant mean curvature is a surface of revolution and, up to translation, must coincide with a canonical example, which we exhibit explicitly.

Keywords:

Constant mean curvature surfaces, three-dimensional homogeneas spaces, Nil, Heisenberg group, Hopf theorem, Abresch-Rosenberg theorem, Abresch- Rosenberg Dierential .

Volume:

1

Páginas:

108

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e Setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

GEOMETRIA DIFERENCIAL

Projeto de Pesquisa:

GEOMETRIA EM AMBIENTES TRIDIMENSIONAIS

Orientador:

HENRIQUE JOSE MORAIS DE ARAUJO

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Servidor Público

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Sim