Título:

Corpos Não-Euclideanos com Posto Um

Autor:

ROBSON CARLOS DA SILVA REIS

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

REIS, R. C. S.

Data da Defesa:

22/02/2017

Resumo:

Dizemos que um corpo de números K é Euclidiano em relação à norma algébrica usual N, se, para quaisquer inteiros algébricos x e y de K, com y não nulo, existe um inteiro algébrico z em K tal que |N (x − yz)| < |N (y)|, o “algoritmo de Euclides” de K. Se K é Euclidiano, então o seu anel de inteiros algébricos, A, é um domínio de ideais principais e, portanto, um domínio de fatoração única, o que é um resultado muito útil na resolução de equações diofantinas. Em 1952, E.S. Barnes e H.P.F. Swinnerton-Dyer mostraram que, no caso em que K/Q é uma extensão quadrática, existem, exatamente, vinte e um corpos Euclidianos em relação à norma usual. Para corpos cúbicos e de grau quatro, H. Davenport e, mais tarde, J.W.S. Cassels, mostraram que existe apenas um número finito de corpos Euclidianos, se o grupo das unidades A* tem posto um. Por exemplo, Cassels mostrou que corpos cúbicos complexos K não podem ser Euclidianos se −K > 4202, com K sendo o discriminante de K; há, portanto, apenas um número finito deles. Cioffari usou a cota de Cassels para determinar todos os corpos Euclidianos da forma Q( 3 √ d), mostrando que os únicos tais corpos euclidianos são: Q( 3 √ 2), Q( 3 √ 3) e Q( 3 √ 10). Nesta dissertação, apresentamos um estudo detalhado das técnicas que ele usou para obter o resultado.

Palavras-chave:

ramificação. unidades. euclidiano.

Abstract:

We say that a number field K is Euclidean if, for any algebraic integers x ∈ K and y ∈ K, with y ̸= 0, there is an algebraic integer z ∈ K such that |N (x − yz)| < |N (y)|, the "Euclidean algorithm", where N is the algebraic norm in K/Q. If K is Euclidean, then its ring of algebraic integers, A, is a principal ideal domain and, therefore, a unique factorization domain, which is a very useful fact in solving Diophantine equations. In 1952, E.S. Barnes and H.P.F. Swinnerton-Dyer showed that, in the case where K/Q is a quadratic extension, there are exactly twenty one Euclidean number fields, with N being the usual norm. For cubic and quartic fields, H. Davenport, and later J.W.S. Cassels, have shown that there is only a finite number of Euclidean number fields, when the rank of the group of units of A is one (that includes cubic fields with two complex embeddings and quartic fields with four complex embeddings). For example, Cassels has shown that a complex cubic number fields K cannot be Euclidean if −K > 4202, with K being the discriminant of K, so there is only a finite number of them. Cioffari used Cassels’ bound to determine all Euclidean number fields of the form Q (︁ 3 √ d)︁ , the pure cubic fields, showing that the only Euclidean number fields in this case are Q (︁ 3 √ 2 )︁ , Q (︁ 3 √ 3 )︁ and Q (︁ 3 √ 10 )︁ . We give a detailed account of the techniques they used to get this result.

Keywords:

ramification. units. euclidean.

Volume:

1

Páginas:

100

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

ÁLGEBRA

Linha de Pesquisa:

ÁLGEBRA COMUTATIVA

Projeto de Pesquisa:

ENTRELAÇAMENTO DE TEMAS DA ALGEBRA COMUTATIVA E DA GEOMETRIA ALGEBRICA

Orientador:

EDUARDO SHIRLIPPE GOES LEANDRO

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Servidor Público

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Sim