Título:

Differential Geometry of Rotation Minimizing Frames, Spherical Curves, and Quantum Mechanics of a Constrained Particle

Autor:

LUIZ CARLOS BARBOSA DA SILVA

Tipo de Trabalho de Conclusão:

TESE

Abreviatura:

SILVA, L. C. B.

Data da Defesa:

27/07/2017

Resumo:

Esta tese é dedicada à geometria diferencial de curvas e superfícies e aplicações na mecânica quântica. Na 1a parte introduzimos o conhecido triedro de Frenet e então estudamos curvas planas com curvatura dada por potências. Adiante, mostramos que a função curvatura é uma cota inferior para a velocidade de rotação de um referencial móvel qualquer, de onde se define Referenciais que Minimizam Rotação (RMR) como aqueles que atingem essa cota. Notavelmente, RMR são ideais no estudo de curvas esféricas e nos permitem caracterizá-las através de uma equação linear, em contraste com uma EDO em abordagens à Frenet. Também aplicamos essas ideias na caracterização de curvas em surperfícies de nível, = F−1(c), reinterpretando o problema no contexto de uma métrica induzida por Hess F, que pode não ser positiva ou não-degenerada e então nos levar a um espaço de Lorentz- Minkowski E31 ou isotrópico I3. De forma unificada, construímos RMR e caracterizamos curvas esféricas em E31 e I3 e então fornecemos um critério para que curvas estejam em superfícies de nível. Finalmente, estedemos essas investigações a fim de caracterizar curvas na hiperfície de esferas geodésicas de uma variedade Riemanniana. Usando que para tais curvas as geodésicas (radiais) que ligam a curva a um determinado ponto fixo induz um campo de vetores normais, somos capazes de caracterizar curvas em esferas geodésicas em geometrias hiperbólica e esférica através de uma equação linear. Na 2a parte aplicamos à dinâmica quântica de uma partícula confinada alguns dos conceitos já discutidos, onde a geometria diferencial é uma ferramenta relevante e atual devido à possibilidade de se sintetizar estruturas com formas não-triviais. Após descrever o formalismo do potencial confinante, de onde emerge um potencial induzido por geometria (PIG), nos dedicamos às superfícies tubulares a fim de modelar nanotubos curvos. O uso de RMR fornece uma descrição simples e nos permite mostrar que a torção do eixo do nanotubo dá origem a uma fase geométrica. Adiante, estudamos o problema de PIG prescrito: para curvas ele é solucionado integrando-se as equações de Frenet, enquanto para superfícies ele se escreve em termos de uma EDP não-linear de 2a ordem. Aqui exploramos o PIG em superfícies invariantes por um grupo a 1 parâmetro de isometrias, que transforma a EDP do problema em uma EDO e nos leva ao estudo de superfícies cilíndricas, de revolução e helicoidais. Estas últimas são candidatas naturais para se estabelecer um link com quiralidade. Aqui dedicamos uma atenção especial às superfícies helicoidais mínimas e mostramos a existência de estados ligados e localizados induzidos por geometria e também a possibilidade de se controlar a distribuição de probabilidade ao submeter a superfície a uma carga extra.

Palavras-chave:

triedro de Frenet. triedro que minimiza rotação. curva esférica. espaço euclideano. espaço de Lorentz-Minkowski. espaço isotrópico. espaço hiperbólico. dinâmica confinada. nanotubo curvo. fase de Berry. fase geométrica. curvatura prescrita. superfície invariante. superfície de revolução. superfície helicoidal. superfície cilíndrica. estado ligado.

Abstract:

This thesis is devoted to the differential geometry of curves and surfaces along with applications in quantum mechanics. In the 1st part we initially introduce the well known Frenet frame and then discuss on plane curves with a power-law curvature. Later, we show that the curvature function is a lower bound for the scalar angular velocity of any moving frame, from which one defines Rotation Minimizing (RM) frames as those frames that achieve this minimum. Remarkably, RM frames are ideal to study spherical curves and allow us to characterize them through a linear equation, in contrast with a differential equation from a Frenet approach. We also apply these ideas to curves that lie on level surfaces, = F−1(c), by reinterpreting the problem in the context of a metric induced by Hess F, which may fail to be positive or non-degenerate and naturally leads us to a Lorentz-Minkowski E31 or isotropic I3 space. We then develop a systematic approach to construct RM frames and characterize spherical curves in E31 and I3 and furnish a criterion for a curve to lie on a level set surface. Finally, we extend these investigations to characterize curves that lie on the (hyper)surface of geodesic spheres in a Riemannian manifold. Using that for geodesic spherical curves the (radial) geodesics connecting the curve to a fixed point induce a normal vector field, we are able to characterize geodesic spherical curves in hyperbolic and spherical geometries through a linear equation. In the 2nd part we apply some of the previous ideas in the quantum dynamics of a constrained particle, where differential geometry is a relevant and timing tool due to the possibility of synthesizing nanostructures with non-trivial shapes. After describing the confining potential formalism, from which emerges a geometry-induced potential (GIP), we devote our attention to tubular surfaces as a mean to model curved nanotubes. The use of RM frames offers a simpler description for the constrained dynamics and allows us to show that the torsion of the centerline of a curved tube gives rise to a geometric phase. Later, we study the problem of prescribed GIP for curves and surfaces in Euclidean space: for curves it is solved by integrating Frenet equations, while for surfaces it involves a non-linear 2nd order PDE. Here we explore the GIP for surfaces invariant by a 1-parameter group of isometries, which turns the PDE into an ODE and leads to cylindrical, revolution, and helicoidal surfaces. The latter class is an important candidate to establish a link with chirality. Here we devote a special attention to helicoidal minimal surfaces and prove the existence of geometry-induced bound and localized states and the possibility of controlling the change in the probability density when the surface is subjected to an extra charge.

Keywords:

Frenet frame. rotation minimizing frame. spherical curve. Euclidean space. Lorentz-Minkowski space. isotropic space. hyperbolic space. constrained dynamics. curved nanotube. Berry phase. geometric phase. prescribed curvature. surface of revolution. helicoidal surface. cylindrical surface. bound state.

Volume:

1

Páginas:

130

Idioma:

INGLES

Biblioteca depositada:

Central e setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

TOPOLOGIA E GEOMETRIA APLICADA

Projeto de Pesquisa:

ASPECTOS TOPOLÓGICOS DE TRANSIÇÕES DE FASES E GEOMETRIA DO CAOS HAMILTONIANO

Orientador:

FERNANDO ANTONIO NOBREGA SANTOS

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Servidor Público

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

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Não