Título:

Mecânica Quântica em Superfícies no Espaço Minkowski

Autor:

RENATO TEIXEIRA GOMES

Tipo de Trabalho de Conclusão:

TESE

Abreviatura:

GOMES, R. T.

Data da Defesa:

23/02/2018

Resumo:

Em abril de 1981, Rogério Cantarino Trajano Da Costa publicou o seu relevante paper, intitulado "Quantum Mechanics of a constrained Particle". Neste trabalho o autor discute o movimento de uma partícula quântica não relativista confinada a uma superfície de R3, através da ação de um potencial externo, e também o confinamento à uma curva. Um relevante resultado obtido ao fim deste processo de confinamento, é o surgimento de um "potencial geométrico"(que depende da curvatura gaussiana e da curvatura média no caso da superfície e da curvatura da curva no caso do confinamento a uma curva) na equação de Schrödinger da partícula confinada. Neste trabalho seguimos os passos de Da Costa e obtemos um resultado semelhante considerando uma superfície no espaço de Minkowski R31 . Particularizaremos nossos estudos para o caso de superfícies de revolução tipo-espaço e tipo-tempo, com eixos tipo-espaço e tipo-tempo no espaço de Minkowski. Mostraremos que para superfícies de revolução destes tipos, o operador forma é diagonalizável com respeito a métrica de Minkowski, e que após um processo de separação de variáveis na equação de Schrödinger da partícula confinada, obtemos uma equação que depende apenas da variável da curva perfil da superfície. Por meio de um lema que nos permite escrever as curvaturas principais da superfície de forma mais simples e de algumas manipulações algébricas, obtemos uma equação do tipo Sturm-Liouville que depende apenas das curvaturas principias e da derivada de uma das curvaturas. Consideramos então o confinamento as variedades de curvatura constante 1 e –1 (hiperbolóide de 1 e 2 folhas) obtendo para o caso do hiperbolóide de uma folha um potencial geométrico da forma sech2(q2), potencial este que aparece como casos particulares na segunda equação de Pöschl-Teller e no estudo de sólitons. Aplicamos então a teoria de Sturm-Liouville obtendo boas estimativas para intervalos onde podemos encontrar os autovalores dos problemas de Sturm-Liouville associados. Por meio do método de Rayleigh-Ritz obtemos estimativas melhores para os primeiros autovalores. Por fim, como uma consequência do lema a respeito das curvaturas principais, obteremos uma classe de superfícies de revolução com eixo tipo-espaço e tipo-tempo com a curvatura da curva perfil constante e seus potenciais geométricos. Faremos também uma discussão sobre a possibilidade da equação de Schrödinger para tais superfícies de revolução se tornar um oscilador harmônico.

Palavras-chave:

Geometria de Minkowski. Superfícies de Revolução. Sturm-Liouville. Equação de Schrödinger. Mecânica Quântica.

Abstract:

In April 1981 Rogério Cantarino Trajano da Costa published his relevant paper entitled "Quantum Mechanics of a Constrained Particle". In this work the author discusses the motion of a non-relativistic quantum particle confined to a surface of R3, through the action of an external potential, and also the confinement to a curve. A relevant result obtained at the end of this confinement process, is the appearence of a "geometric potential" (which depends on the Gaussian curvature and the mean curvature in the case of the surface and the curvature of the curve in the case of confinement to a curve) in the Schrödinger equation of the confined particle. In this work we follow the steps of Da Costa and obtain a similar result considering a surface In the Minkowski space R31 . We will particularize our studies for the case of spacelike and timelike surfaces with spacelike and timelike axes in the Minkowski space. We will show that for revolution surfaces of these types, the form operator is diagonalizable with respect to Minkowski’s metric, and that after a process of separation of variables in the Schrödinger equation of the confined particle, we obtain an equation that depends only on the variable of the profile curve of the surface. By means of a Lemma that allows us to write the main curvatures of the surface of simpler form and some algebraic manipulations, we obtain an equation of the Sturm-Liouville type that depends only on the principal curvatures and derivative of one of the curvatures. We consider the confinement of the manifolds of constant curvature 1 and -1 (hyperboloid of 1 and 2 sheets) obtaining for the case of the hyperboloid of a sheet a geometric potential of the form sech2(q2), potential this which appears as particular cases in the second Pöschl-Teller equation and in the study of solitons. We will apply the Sturm-Liouville theory by obtaining good estimates for intervals where we can find the eigenvalues of the associated Sturm-Liouville problems. By means of the Rayleigh-Ritz method we obtain better estimates for the first eigenvalues. Finally, as a consequence of the lemma about the principal curvatures, we will obtain a class of revolution surfaces with spacelike and timelike axis with the curvature of the constant profile curve and its geometric potentials. We will also discuss the possibility of the Schrödinger equation for the particle confined to surfaces of revolution becoming a harmonic oscillator.

Keywords:

Minkowski Geometry. Revolution Surfaces. Sturm-Liouville. Schrödinger Equation. Quantum Mechanics.

Volume:

1

Páginas:

94

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

FÍSICA-MATEMÁTICA

Projeto de Pesquisa:

MECÂNICA QUÂNTICA DE PARTÍCULAS CONFINADAS EM ESPAÇOS SEMI-RIEMANNIANOS

Orientador:

EDUARDO SHIRLIPPE GOES LEANDRO

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Servidor Público

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Não