Título:

O Teorema de Hooley e a Conjectura de Artin para Raízes Primitivas

Autor:

RICARDO FRANCISCO DA SILVA

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

SILVA, R. F.

Data da Defesa:

27/02/2018

Resumo:

Desde que Artin formulou sua conjectura em 1927, muitos matemáticos tentaram demonstrá-la, mas não obtiveram um resultado significativo. Entretanto, em 1967 houve um avanço notório em torno da conjectura de Artin com o trabalho de Hooley. De fato, o teorema de Hooley foi o primeiro resultado de grande importância no que diz respeito à conjectura, fornecendo uma prova rigorosa para a mesma, assumindo a Hipótese de Riemann Generalizada para funções zeta de Dedekind de certos corpos de números. Temos por objetivo, neste trabalho, apresentar os detalhes da demonstração do teorema de Hooley. Detalharemos o raciocínio heurístico que levou Artin a formular a sua conjectura. Veremos que a relação com a Hipótese de Riemann aparece quando Hooley usa uma versão efetiva do teorema de Chebotarev, que também é um resultado de grande relevância em Teoria dos Números. Além disso, veremos também como o trabalho de Hooley tem relação com os métodos de crivos, demonstrando a famosa desigualdade de Brun-Titchmarsh via crivo de Selberg.

Palavras-chave:

Teoria dos N´umeros. M´etodos de Crivos. Conjectura de Artin. Ra´ızes Primitivas.

Abstract:

Since Artin formulated his conjecture in 1927, many mathematicians attempted to demonstrate it, but did not obtain a significant result. However, in 1967 there was a notable advance around the Artin conjecture, with Hooley’s work. In fact, Hooley’s theorem was the first major result with respect to this conjecture, providing rigorous proof for it, assuming the Generalized Riemann Hypothesis for the Dedekind’s zeta functions of certain number fields. The purpose of this work is to present the details of the proof of Hooley’s theorem. We will detail the heuristic reasoning that led Artin to formulate his conjecture. We will see that the relation with the Riemann Hypothesis appears when Hooley uses an effective version of Chebotarev’s theorem, which is also a result of great relevance in Number Theory. In addition, we will also see how Hooley’s work relates to sieve methods, demonstrating the famous Brun-Titchmarsh inequality via the Selberg sieve.

Keywords:

Number Theory. Sieve Methods. Artin’s Conjecture. Primitive Roots.

Volume:

1

Páginas:

75

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

ÁLGEBRA

Linha de Pesquisa:

ÁLGEBRA COMUTATIVA

Projeto de Pesquisa:

ENTRELAÇAMENTO DE TEMAS DA ALGEBRA COMUTATIVA E DA GEOMETRIA ALGEBRICA

Orientador:

EDUARDO SHIRLIPPE GOES LEANDRO

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Servidor Público

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Não