Título:

ASSINATURAS TOPOLÓGICAS DA SINCRONIZAÇÃO

Autor:

ANDRE LUIZ DE GOES PACHECO

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

PACHECO, A. L. G.

Data da Defesa:

27/02/2019

Resumo:

Sincronização é onipresente na natureza e vem sendo amplamente estudada em várias áreas do conhecimento. Recentemente, diversos modelos de sincronização que vão desde pessoas batendo palmas ao estudo de osciladores harmônicos acoplados vem utilizando as mais diversas técnicas de matemática, em particular de sistemas dinâmicos. A ideia de usar ferramentas de sistemas dinâmicos para estudar sincronização iniciou com o modelo teórico de Yoshiki Kuramoto em 1975, conhecido como Modelo de Kuramoto, que tem repercussão em várias áreas de conhecimento, como na física, na química e recentemente na neurociência. Em outra frente, métodos de topologia algébrica têm sido utilizados para caracterização de dados em diversas áreas da ciências, área efervescente na matemática aplicada atual denominada topological data analysis. Um grande vantagem de analisar dados sobre este prisma é o caráter multidimensional associado aos dados e a robustez intrínseca da topologia, que preserva informações mesmo diante de deformações, que podem ser entendidas como ruído em um sistema experimental. Nosso trabalho visa caracterizar topologicamente o processo de sincronização no modelo teórico de Kuramoto. Construímos um complexo simplicial aleatório associado ao modelo na tentativa de estudar seus invariantes topológicos (característica de Euler e os números de Betti) em três estágios do processo de sincronização, a saber: (1) no início do processo onde os osciladores estão dessincronizados, (2) nas vizinhanças da sincronização e (3) após a sincronização onde os osciladores estão sincronizados. Para tal fim, utilizamos ferramentas de Python para gerar um sistema com N osciladores harmônicos acoplados e calculamos numericamente várias réplicas para as soluções do modelo, assim criando uma correlação entre tais osciladores que definem naturalmente uma filtração para o sistema. Esta dissertação contribui para o melhor entendimento das assinaturas topológicas associadas sincronização e, dada a robustez da análise topológica, tem potencial para ser uma maneira indireta de inferir o nível de sincronização em um sistema experimental.

Palavras-chave:

Grafos. Teoria de Redes. Topologia. Sincronização. Topological Data Analysis (TDA).

Abstract:

Synchronization is ubiquitous in nature and has been fully studied in several areas of knowledge. Synchronization models, ranging from the clapping to the study of oscillators, are being used in several mathematical topics, in particular to dynamical systems. The idea of using dynamical systems tools to study synchronization began with the theoretical model of Yoshiki Kuramoto in 1975, known as the Kuramoto Model, which had repercussions in several areas of knowledge, such as in physics, chemistry and, recently, in neuroscience. On another front, algebraic topology methods were used to characterize data in several areas of expertise, an effervescent area in applied maths also known as topological data analysis. A significant advantage of data analysis on this prism is multidimensionally associated with the data and intrinsic robustness of the topology, which preserve information even in the presence of deformation, which can be understood as noise in an experimental system. This work aims to characterize topologically the synchronization process in the theoretical model of Kuramoto. We aim to construct a random simplicial complex associated with the model and study the topological invariants (Euler’s characteristic and the Betti numbers) in three synchronization processes, a saber: (1) at the beginning of the oscillation process are synchronized, (2) in the adjacencies of the synchronization and (3) after synchronization where the oscillators are synchronized. To do so, it uses Python calculation tools to generate a level of error resolution, and as such, one can numerically calculate the various solutions as a model and thus create a current between these indicators that structurally define a filtration for the system. This dissertation contributes to a better understanding of the topological and synchronous signatures, and the topological analysis has the potential to be an indirect form of synchronization in an experimental system.

Keywords:

Graph theory. Network theory. Topology. Synchronization. Topological Data Analysis (TDA).

Volume:

1

Páginas:

48

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

TOPOLOGIA E GEOMETRIA APLICADA

Projeto de Pesquisa:

ASPECTOS TOPOLÓGICOS DE TRANSIÇÕES DE FASES E GEOMETRIA DO CAOS HAMILTONIANO

Orientador:

FERNANDO ANTONIO NOBREGA SANTOS

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Não