Título:

DESIGUALDADES DO TIPO CAFFARELLI-KOHN-NIRENBERG

Autor:

ESTEVAN LUIZ DA SILVA

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

SILVA, E. L.

Data da Defesa:

26/02/2019

Resumo:

Considere as seguintes desigualdades estabelecidas por Caffarelli, Kohn e Nirenberg [1], $$ \left( \int_{\mathbb{R}^N} |x|^{-bp}|u|^p dx \right)^{2/p} \leq C_{a,b} \int_{\mathbb{R}^N} |x|^{-2a}|\nabla u|^2 dx $$ onde $N\geq3$, $-\infty<a<\frac{N-2}{2}$, $a\leq b\leq a+1$ e $\frac{2N}{N-2+2(b-a)}$. Neste trabalho estudamos algumas questões fundamentais sobre essas desigualdades, como as melhores constantes de mergulho, a existência e não-existência de funções extremais e suas propriedades qualitativas. Enquanto o caso a maior ou igual a 0 foi estudado extensivamente e uma solução completa é conhecida, pouco se sabe sobre o caso $a<0$. Nossos resultados para o caso $a<0$ revelam alguns novos fenômenos que estão em contraste marcante com aqueles para o caso um a maior ou igual a zero. Finalmente, também provamos resultados de rigidez: uma variedade Riemanniana aberta e completa M com curvatura de Ricci não-negativa, de dimensão $N\geq3$, na qual desigualdades do tipo Caffarelli–Kohn-Nirenberg são satisfeitas está próxima do espaço Euclidiano $\mathbb{R}^N$.

Palavras-chave:

Desigualdades Caffarelli-Kohn-Nirenberg, funções extremais, variedades completas, curvatura de Ricci não-negativa.

Abstract:

Consider the following inequalities due to Caffarelli, Kohn, and Nirenberg [1] $$ \left( \int_{\mathbb{R}^N} |x|^{-bp}|u|^p dx \right)^{2/p} \leq C_{a,b} \int_{\mathbb{R}^N} |x|^{-2a}|\nabla u|^2 dx $$ where $N\geq3$, $-\infty<a<\frac{N-2}{2}$, $a\leq b\leq a+1$ e $\frac{2N}{N-2+2(b-a)}$. In this work, we study some fundamental questions concerning these inequalities such as the best embedding constants, the existence and nonexistence of extremal functions, and their qualitative properties. While the case a greater than or equal to 0 has been studied extensively and a complete solution is known, little has been known for the case a < 0. Our results for the case $a<0$ reveal some new phenomena which are in striking contrast with those for the case a greater than or equal to 0. Finally, we also proved a rigidity results: a complete open Riemannian manifods M with non-negative Ricci curvature of dimension $N\geq3$ in which some.

Keywords:

Caffarelli-Kohn-Nirenberg Inequalities, extremal functions, complete manifolds, non-negative Ricci curvature.

Volume:

1

Páginas:

128

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

ANÁLISE

Linha de Pesquisa:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES

Projeto de Pesquisa:

ANÁLISE NÃO LINEAR E CÁLCULO DAS VARIAÇÕES.

Orientador:

JOAO MARCOS BEZERRA DO O

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Não