Título:

A Teoria de Morse e o Teorema de Periodicidade de Bott para o Grupo Unitário

Autor:

JOAO ALEXANDRE RODRIGUES ALMEIDA DA MATTA DE SOUZA

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

SOUZA, J. A. R. A. M.

Data da Defesa:

24/08/2020

Resumo:

É dada uma introdução à Teoria de Morse, mostrando como uma variedade pode ser descrita através das funções definidas nelas. Tal ferramenta será usada na demonstração para descrição do Teorema de Periodicidade de Bott, no caso particular do Grupo Unitário U(n). Para chegar em tal ponto, faz-se então uma exposição detalhada de alguns fatos básicos da Teoria de Homotopia e das Sequências Exatas de Grupos de Homotopia associados a uma Fibração Localmente Trivial. É demonstrado o Teorema do Índice de Morse, o qual permite explicitar o cálculo de certos índices relacionados à descrição de variedades através da Teoria de Morse. Por fim, o Teorema de Bott segue de uma série de lemas e teoremas demonstrados ao longo do texto, concluindo que os grupos estáveis de homotopia de U(n), U, são cíclicos de período 2: πi(U) ~ πi+2(U), i ≥ 0.

Palavras-chave:

Teoria de Morse;Teorema do Índice de Morse;Teoria de Homotopia;Grupos Estáveis de Homotopia;Sequência Exata de uma Fibração Localmente Trivial

Abstract:

An introduction to Morse Theory is given, showing how a manifold can be described through the functions defined therein. This tool will be used in the demonstration to describe Bott's Periodicity Theorem, in the particular case of the U (n) Unit Group. To reach this point, a detailed exposition of some basic facts of the Homotopy Theory and the Exact Sequences of Homotopy Groups associated with a Locally Trivial Fibration is then made. The Morse Index Theorem is demonstrated, which makes it possible to explain the calculation of certain indices related to the description of manifolds through the Morse Theory. Finally, Bott's Theorem follows from a series of lemmas and theorems demonstrated throughout the text, concluding that the stable homotopy groups of U (n), U, are cyclical from period 2: πi (U) ~ πi + 2 (U), i ≥ 0.

Keywords:

Morse Theory;Morse Index Theorem;Homotopy Theory;Stable Homotopy Groups;Exact Sequence of a Locally Trivial Fiber

Volume:

1

Páginas:

105

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

GEOMETRIA DIFERENCIAL

Projeto de Pesquisa:

ASPECTOS DINÂMICOS DA CURVATURA BANDEIRA E TEORIA DO ÍNDICE PARA SOLUÇÕES DE SISTEMAS LAGRANGIANOS EM UM MESMO NÍVEL DE ENERGIA

Orientador:

HENRIQUE DE BARROS CORREIA VITORIO

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

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