Título:

Alguns resultados do Laplaciano Fracionário e Funções s-harmônicas

Autor:

GEOVANI JOSE DE CARVALHO

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

CARVALHO, G. J.

Data da Defesa:

18/02/2020

Resumo:

Neste trabalho, estudamos alguns resultados de difusão não local usando o operador laplaciano fracionário. Começamos motivando o estudo da difusão em matemática explicando brevemente a modelagem desses problemas e a necessidade do estudo da difusão não local. Para isso apresentamos o operador laplaciano fracionário (operador de difusão não local) usando duas versões: uma com transformada de Fourier, e outra abordagem por semigrupos. Estudamos algumas das desigualdades estruturais principais que se tem para o laplaciano, como a Desigualdade de Sobolev Fracionária e a Desigualdade de Harnack. Mostramos alguns exemplos de funções se apresentamos uma função s-harmônica com laplaciano fracionário constante na bola. Definimos os espaços fracionários de Sobolev e apresentamos algumas inclusões de Sobolev e provamos o princípio do máximo. Ser ́a mostrado um resultado de densidade que diz que toda função pode ser aproximada localmente por funções s-harmônicas. Analisamos o fato notável que, em muitas ocasiões, operadores n ̃ao-locais podem ser equivalentemente representados como operadores locais em uma dimensão a mais. Finalmente, apresentamos duas aplicações do laplaciano fracionário a dois modelos físicos, o modelo de ondas de ́agua e o modelo Peierls-Nabarro relacionados a luxações de cristal, e ofereceremos uma justificativa do procedimento de extensão via transformada de Fourier.

Palavras-chave:

Difusão não local;Operador Laplaciano Fracionário;Extensão harmônica

Abstract:

In this paper, we study some nonlocal diffusion results using the fractional Laplacian operator. We begin motivating the study of diffusion in mathematics briefly explaining the modeling of these problems and the need to study non-local diffusion. To do this, we present the fractional Laplacian operator (non-local diffusion operator) using two versions: the Fourier transform, and another approach by semigroups. We study some of the main structural inequalities that exist for the Laplacian, such as the Sobolev Fractional Inequality and Harnack’s Inequality. We show some examples of s-harmonic functions and present an s-harmonic function with constant fractional Laplacian in the ball. We define the fractional Sobolev spaces and present some inclusions of Sobolev and prove the maximum principle. We show a density result that says that every function can be approximated locally by s-harmonic functions. We analyze the remarkable fact that, on many occasions, non-local operators can be equivalently represented as local operators in an extra dimension. Finally, we present two applications of fractional Laplacian to two physical models, the water wave model and the Peierls-Nabarro model related to crystal dislocations, and we will offer a justification for the Fourier transform extension procedure.

Keywords:

Non Local Diffusion;Fractional Laplacian Operator;Harmonic Extension

Volume:

1

Páginas:

97

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

ANÁLISE

Linha de Pesquisa:

EQUAÇÕES DE EVOLUÇÃO

Projeto de Pesquisa:

PROBLEMAS NÃO LINEARES, PROBLEMAS DE DIFUSÃO NÃO LOCAL E APLICAÇÕES

Orientador:

SILVIA SASTRE GOMEZ

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Tipo de Instituição:

Expectativa de Atuação:

Mesma Área de Atuação?

Não