Título:

Dimensão de Hausdorff de fractais auto-afins

Autor:

ANA CRISTINA BARRETO SABINO DE ARAUJO

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

ARAUJO, A. C. B. S.

Data da Defesa:

16/01/2020

Resumo:

Sejam S1, . . . , Sk transformações afins no R n (i.e., S` = T` +a`, T`: R n → R n é transformação linear e a` ∈ R n) e, além disso, são contrativas. Existe um único conjunto compacto nãovazio F, denominado conjunto invariante de {S1, . . . , Sk}, que satisfaz: F = ∪ k `=1S`(F). Geralmente, o conjunto F é um fractal. O objetivo deste trabalho é calcular a dimensão de Hausdorff de F. A ferramenta que utilizamos é a função valor singular φ s, s ∈ R +, definida da seguinte forma: dada T : R n → R n transformação linear, T possui n valores singulares (não necessariamente distintos) α1 ≥ α2 ≥ . . . ≥ αn, temos que φ s (T) = α1α2 . . . αm−1α s−m+1 m , onde m = dse. Seja d = sup{s : P φ s (Ti1 Ti2 . . . Tir) = ∞}, onde o somatório se dá sob todas as sequências finitas (i1, i2, . . . , ir) com 1 ≤ i` ≤ k, ∀` ∈ {1, . . . , r}. Chegamos ao seguinte resultado: a dimensão de Hausdorff de F é, para quase todo ponto a = (a1, . . . , ak) em R nk (em relação a medida nk-dimensional de Lebesgue), igual a min{d, n}.

Palavras-chave:

Fractal;Auto-afim;Dimensão de Hausdorff;Função Valor Singular

Abstract:

Let S1, . . . , Sk be affine contractive mappings in R n (i.e., S` = T` + a`, with T`: R n → R n linear transformation, a` ∈ R n and ||S`(x) − S`(y)|| ≤ c`||x − y||, 0 < c` < 1). There is a unique non-empty compact set F ⊂ R n, called the invariant set of {S1, . . . , Sk}, such that F = ∪ k `=1S`(F). In general, F is a fractal. The purpose of this dissertation is to calculate the Hausdorff dimension of F. The tool we use is the Singular Value Function φ s, s ∈ R +, defined as: let T : R n → R n be a linear transformation, T has n singular values (not necessarily distinct ones) α1 ≥ α2 ≥ . . . ≥ αn, so φ s (T) = α1α2 . . . αm−1α s−m+1 m , with m = dse. Define d = sup{s : P φ s (Ti1 Ti2 . . . Tir) = ∞}, where the summation occurs overall the finite sequences (i1, i2, . . . , ir) with 1 ≤ i` ≤ k, ∀` ∈ {1, . . . , r}. We arrive at: the Hausdorff dimension of F is, for almost every point a = (a1, . . . , ak) in R nk (concerning the Lebesgue nk-dimensional measure), equal to min{d, n}.

Keywords:

Fractal;Self-Affine;Housdorff Dimension;Singular Value Function

Volume:

1

Páginas:

129

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA ERGÓDICA

Projeto de Pesquisa:

EXISTÊNCIA E REGULARIDADE DE MEDIDAS ABSOLUTAMENTE CONTÍNUAS INVARIANTES DE ATRATORES EM DIMENSÕES ALTAS

Orientador:

RICARDO TUROLLA BORTOLOTTI

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Tipo de Instituição:

Expectativa de Atuação:

Mesma Área de Atuação?

Não