Título:

Processos Difusivos em Espaços Riemannianos

Autor:

NELSON LEAL DOS SANTOS JUNIOR

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

JUNIOR, N. L. S.

Data da Defesa:

19/10/2020

Resumo:

O objetivo principal deste trabalho é gerar uma fonte acessível de informações e ferramentas para dar suporte a elaboração de modelos envolvendo difusão em espaços Riemannianos. Trataremos difusão sob a perspectiva de um processo de Markov. Estes envolvem coeficientes de drift e de difusão, e uma função de densidade de probabilidade f(s, x,t, y) chamada de função de transição do processo de Markov, que fornece a probabilidade de encontrar uma partícula no ponto y em um tempo t, dada a posição x em um tempo s < t. Numa abordagem local de uma geometria diferencial Riemanniana, tratamos tópicos como: gradiente, divergente, laplaciano, símbolos de Levi-Civita, derivada covariante, geodésicas e transporte paralelo. Discutimos então a existência de uma geometria associada à difusão, cuja métrica é dada pelo coeficiente de difusão do processo de Markov. Apresentamos ainda conceitos que são característicos de um espaço Riemanniano, tais como conexão e curvatura, além de resultados de aproximação da função de transição de um processo de difusão que satisfaz condições específicas, utilizando como ferramenta o desvio geodésico relacionado à trajetória mais curta que une os pontos x e y. Ao final, são apresentadas informações sobre difusão em espaços de curvatura constante.

Palavras-chave:

Difusão;Drift;Processos de Markov;Geometria Diferencial

Abstract:

The main objective of this work is to offer an accessible source of information and tools to support the construction models of diffusion in Riemannian spaces. We shall treat diffusion under the perspective of Markov processes. These involve drift and diffusion coefficients, and a probability density function f(s, x,t, y) called the Markov process transition function, which gives the probability of finding a particle at a point y in a time t, given the position x in a time s < t. In a local approach of a Riemannian differential geometry, we address topics such as: gradient, divergent, Laplacian, Levi-Civita symbols, covariant derivative, geodesics and parallel transport. We discuss the existence of a geometry associated with the diffusion process, whose metric is given by the diffusion coefficient of the Markov process. We also present characteristic concepts of a Riemannian space, such as connection and curvature, as well results on approximations of the transition function of a diffusion process that satisfies specific conditions, using as a tool the geodetic deviation related the trajectory more short that joins the points x and y. In the end, we present information about diffusion in spaces of constant curvature.

Keywords:

Diffusion;Drift;Markov Process;Differential Geometry

Volume:

1

Páginas:

72

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Autorização de divulgação:

O trabalho não possui divulgação autorizada

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL EM BIOLOGIA

Projeto de Pesquisa:

FLUXO DE CARBONO EM FLORESTAS SECUNDÁRIAS DA MATA ATLÂNTICA

Orientador:

SOLANGE DA FONSECA RUTZ

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Tipo de Instituição:

Expectativa de Atuação:

Mesma Área de Atuação?

Não