Título:

Homologia dos Fractais

Autor:

ELIDA KARINE DE LIRA FERREIRA

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

FERREIRA, E. K. L.

Data da Defesa:

29/04/2022

Resumo:

Os fractais podem ser encontrado em vários lugares, desde os gerados por computador até os vistos na natureza. Por outro lado, a topologia aplicada é comumente usada para descrever e entender dados complexos. Esta dissertação visa fundir esses dois tópicos distintos para investigar superfícies fractais usando métodos e conceitos de análise de dados topológicos (TDA). Para tanto, estudamos a homologia de alguns fractais gerados por computador, a saber: fractais de Mandelbrot, Julia e Newton. Em cada um deles, calculamos múltiplas métricas em homologia persistente em função de um parâmetro de filtragem, como seus diagramas de persistência, códigos de barras, curvas de Betti e características de Euler. Tentamos procurar uma assinatura para tais fractais em comparação com não-fractais usando a metodologia da TDA. Portanto, investigamos esses fractais para diferentes parâmetros de controle que podem ter influenciado sua homologia persistente, por exemplo, quantidade de pontos, qualidade da imagem, etc. Em particular, também investigamos a transição de fase topológica desses fractais estudando os locais dos zeros da curva da característica de Euler. Encontramos diferenças entre a transição de fase das superfícies fractais quando contrastadas com não fractais, isto é, superfícies sem características autossimilar. Mais especificamente, os zeros das características de Euler ocorrem em limiares mais altos para superfícies fractais investigadas nesta dissertação. Esperamos que este trabalho possa contribuir para uma compreensão adequada dos fractais na linguagem de homologia persistente.

Palavras-chave:

Topologia;Homologia;Homologia Persistente;Invariantes topológicos;Fractais;Mandelbrot;Julia;Newton

Abstract:

Fractals can be found in many places, from computer-generated ones to those seen in nature. On the other hand, applied topology is commonly used to describe and understand complex data. This dissertation aims to merge these two distinct topics to investigate fractal surfaces using methods and concepts of topological data analysis (TDA). To this aim, we study the homology of some computer-generated fractals, namely: Mandelbrot, Julia and Newton fractals. In each of them, we calculated multiple metrics in persistent homology as a function of a filtration parameter, such as their persistence diagrams, barcodes, Betti curves and Euler characteristics. We attempt to look for a signature for such fractals in comparison to non-fractals using the TDA methodology. Therefore, we investigated those fractals for different control parameters that may have influenced its persistent homology, e.g. amount of points, quality of the image, etc. In particular, we also investigated the topological phase transition of those fractals by studying the loci of the zeros of the Euler characteristic curve. We found differences between the phase transition of the fractal surfaces when contrasted with non-fractals, that is, surfaces without self-similar characteristics. More specifically, The zeros of the Euler characteristics occurs at higher thresholds for fractal surfaces investigated in this work. We hope that this work may contribute to a proper understanding of fractals in the language of persistent homology.

Keywords:

Topology;Homology;Persistent Homology;Topological invariants;Fractals;Mandelbrot;Julia;Newton

Volume:

01

Páginas:

55

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e Setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho possui divulgação autorizada

Anexo:

Elida.pdf

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

TOPOLOGIA E GEOMETRIA APLICADA

Projeto de Pesquisa:

ASPECTOS TOPOLÓGICOS DE TRANSIÇÕES DE FASES E GEOMETRIA DO CAOS HAMILTONIANO

Orientador:

FERNANDO ANTONIO NOBREGA SANTOS

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Servidor Público

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Sim