Título:

Métodos Estatísticos em Teoria Ergódica para Transformações Expansoras e Hiperbólicas

Autor:

GUSTAVO KAYK COSTA BARROS

Tipo de Trabalho de Conclusão:

DISSERTAÇÃO

Abreviatura:

BARROS, G. K. C.

Data da Defesa:

27/10/2022

Resumo:

Neste trabalho apresentaremos ferramentas para o estudo de propriedades ergódicas e estatísticas de transformaçõs expansoras, expansoras por partes e hiperbólicas. Conheceremos o operador de transferência, para o qual nos dedicaremos em boa parte do trabalho ao estudo do seu espectro quando atua sobre algum espaço de funções regulares (Hölder, Lipschitz, C1, Sobolev Wi1, etc.). Neste estudo serão importantes as desigualdades de Lasota-Yorke, as quais implicam em diversos casos que o operador possui a propriedade de lacuna espectral – essa propriedade é obtida graças ao Teorema de Hennion. Como consequência estatística da propriedade de lacuna espectral, veremos que esta é suficiente para demonstrar o decaimento exponencial de correlações para as dinâmicas consideradas. As ferramentas citadas acima serão aplicadas para os casos de transformações expansoras e para expansoras por partes, onde obteremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas e o decaimento exponencial de correlações. Para algumas expansoras em dimensão 1 veremos também que a medida invariante tem densidade regular em algum espaço de Sobolev. Também apresentaremos o deslocamento de Markov como um exemplo ilustrativo da propriedade de lacuna espectral e do decaimento exponencial de correlaçoes. Veremos também outras consequências da dinâmica ter lacuna espectral, como o Teorema Central do Limite, e como a lacuna espectral implica na dependência diferenciável de densidade invariante em relação à dinâmica, o que é conhecido como linear response formula. Ao final, iremos fazer um breve estudo de dinâmicas uniformemente contrativas. Aqui tomaremos espaços duais aos que foram usados para as expansoras e assim iremos obter regularidade para o operador de transferência associado à dinâmica contrativa. Com isto, daremos um exemplo de uma classe de dinâmicas hiperbólicas para a qual vamos definir uma norma de forma que temos uma desigualdade tipo Lasota-Yorke.

Palavras-chave:

Decaimento de correlações;Expansoras por partes;Lacuna Espectral;Teorema Central do Limite;Fórmula de resposta linear;Dinâmica Hiperbólica

Abstract:

In this work will present some tools for the study of ergodic and statistical properties of expanding maps ans piecewise expanding maps. We will know the transfer operator, for which we will dedicate ourselves in a considerable part of this work to the study of its spectrum when acts on some space of regular functions (Hölder, Lipchitz, C1, Sobolev Wi1, etc.). In this study will be important the Lasota-Yorke inequalities, which in many cases imply that the operator have spectral gap property - this property is obtained due to Hennion’s Theorem. As statistical consequence of the spectral gap, we will see that this is enough to prove the exponential decay of correlations for the dynamics considered. The tools cited above will be applied for the cases of expanding maps and piecewise expanding maps, where we will obtain the existence of absolutely continuous invariant measure and exponential decay of correlations. For some one-dimensional expanding maps we will also see that the invariant measure has regular density in some Sobolev space. We will also present Markov shifts, as an illustrative example of the spectral gap property and the and exponential day of correlations. We will also see other consequences of the dynamic having spectral gap, as Central Limit Theorem, and how the spectral gap implies the differentiable dependence of the invariant density with relation to the dynamic, what is known as linear response formula. In the end, we will do a brief study of uniformly contracting dynamics. Here we will take dual spaces of those which were used for expanding maps and so we will obtain regularization for the transfer operator associated to a contracting map. With this, we will give an example of a class of hyperbolic dynamics for which we will define a norm so that we have a Lasota-Yorke type inequality.

Keywords:

Decay of corrrelations;Piecewise Expanding Maps;Espectral Gap;Central Limit Theorem;Linear Response Formula;Hyperbolic Dynamic

Volume:

1

Páginas:

126

Idioma:

PORTUGUES

Biblioteca depositada:

Central e Setorial

Autorização de divulgação:

O trabalho possui divulgação autorizada

Anexo:

Texto_FINAL_Dissertacao_Metodos_Espectrais_em_Dinamica.pdf

Área de Concentração:

GEOMETRIA

Linha de Pesquisa:

SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA ERGÓDICA

Projeto de Pesquisa:

EXISTÊNCIA E REGULARIDADE DE MEDIDAS ABSOLUTAMENTE CONTÍNUAS INVARIANTES DE ATRATORES EM DIMENSÕES ALTAS

Orientador:

RICARDO TUROLLA BORTOLOTTI

O orientador principal compôs a banca do discente?:

Sim

Tipo de Vínculo Empregatício:

Servidor Público

Tipo de Instituição:

Instituição de Ensino e Pesquisa

Expectativa de Atuação:

Ensino e Pesquisa

Mesma Área de Atuação?

Sim