Nesse trabalho, apresentamos uma desigualdade do tipo Hardy-Sobolev em domínios cilíndricos e como consequência desta obtivemos algumas imersões de Sobolev em espaços de Lebesgue com peso. Provamos que a atingibilidade da melhor constante destas imersões com peso é equivalente a provar a existência de soluções do tipo ground state para uma classe de problemas elípticos em $\mathbb{R}^N$. Regularidade e comportamento dos minimizadores também são obtidos. Como aplicação das imersões obtidas, provamos resultados de existência e não existência de solução para uma classe de problemas elípticos com crescimento crítico.